В 1980 г. окончил Первый Московский медицинский институт имени И.М. Сеченова и избрал для себя педиатрию как призвание.

Обучался в клинической ординатуре и очной аспирантуре на кафедре детских болезней Первого ММИ им. И.М. Сеченова.

В 1985 г. защитил кандидатскую диссертацию.

До 1989 г. работал ассистентом кафедры детских болезней Первого ММИ им. И.М. Сеченова, участвовал в кампании Минздрава СССР и детского фонда им. В.И. Ленина по ликвидации детской и материнской смертности в республиках Средней Азии.

В 1989 г. был приглашен заведующим терапевтическим отделением детского корпуса Центральной клинической больницы (ЦКБ) Четвертого главного управления Министерства здравоохранения СССР.

В 1995 г. стал заместителем главного врача по медицинской части (по педиатрии и родовспоможению) ЦКБ Медицинского центра Управления делами Президента РФ. Наряду с лечебной деятельностью, проводил как научную, так и преподавательскую работу.  

В 1993 г. А.П. Фисенко присвоено ученое звание доцента по кафедре детских болезней. 

В 1996 г. защитил докторскую диссертацию на тему «Цитомегаловирусная инфекция у детей. Современные методы диагностики и лечения».

Ученое звание профессора по специальности «педиатрия» присвоено в 1998 г., а в 1999 г. — квалификационный разряд действительного государственного советника Российской Федерации 2-го класса.

С 1997 г. по 2000 г. А.П. Фисенко — первый заместитель генерального директора Медицинского центра Управления делами (УД) Президента РФ и затем до 2018 г. — заместитель главного врача по медицинской части ЦКБ Медицинского центра УД Президента РФ. 

В апреле 2018 г. А.П. Фисенко назначен директором Федерального государственного автономного учреждения «Национальный медицинский исследовательский центр здоровья детей» Министерства здравоохранения Российской Федерации. 

Основные направления научных исследований: создание новых технологий диагностики, лечения и профилактики детских болезней с использованием клеточных, молекулярно-генетических, геномных и постгеномных технологий, разработка новых методов профилактики и реабилитации детей с хроническими инвалидизирующими болезнями, организация комплексной медицинской помощи детям с орфанными заболеваниями и новорожденным с пороками развития.

Им опубликовано более 80 научных статей в рецензируемых журналах и 3 монографии.

В 2007 г. А.П. Фисенко объявлена благодарность Управления делами Президента РФ. В этом же году за заслуги в области здравоохранения и многолетнюю добросовестную работу он награжден медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» 2-й степени.

В 2013 г. награжден памятным знаком «20 лет Управления делами Президента Российской Федерации».

В 2015 г. присвоено почетное звание «Заслуженный врач Российской Федерации».